라그랑주 (Lagrange) 승수법

기본 가정

• "제약 조건 함수 $g(x, y)$를 만족하는 어떤 함수 $f(x, y)$의 최솟값과 최댓값은 함수 $f(x, y)$와 $g(x, y)$가 접하는 점에 존재할 수 있다"

그림. 두 함수의 접점

두 함수 $f(x, y)$와 $g(x, y)$는 접점에서 기울기(Gradient) 벡터가 상수배 관계를 가진다.

• 두 개의 벡터가 "평행하다" 또는 "동일 직선 상에 있다". 두 개의 벡터는 상수배 관계를 가진다(벡터의 특성).
• $\nabla f(x, y) = \lambda \cdot \nabla g(x, y)$

그림. 벡터의 평행

라그랑주 함수

• $L(x, y) = f(x, y) - \lambda \cdot g(x, y)$
• 미분을 하면 2번식과 동일한 결과임을 확인할 수 있다.

라그랑주 풀이

• 라그랑주 함수의 미분 값이 0이 되어야 함을 이용하여 문제를 푼다.
• $\nabla L(x, y) = \nabla f(x, y) - \lambda \cdot \nabla g(x, y) = 0$ (2번 참고)

 

 

 

* 편의를 위해 함수 $f(x, y)$ 와 $g(x, y)$를 사용하여 작성.